Maggiore di undici figli, terminati gli studi classici si iscrisse all’Accademia di Brera, dove seguì i corsi di architettura, passando quindi al Reale Istituto tecnico superiore; durante questi anni strinse amicizia con Guido Pisani Dossi e con Luca Beltrami, suoi compagni di corso al Politecnico, che furono suoi fedeli sostenitori per tutta la vita.
Poco dopo il 1870, ancora studente, conobbe Daniele Ranzoni e Tranquillo Cremona, del quale iniziò a frequentare lo studio, apprendendo quella specifica resa pittorica, la tecnica aerea e il colore vaporoso, che influenzarono in gran parte la sua produzione.
Diplomatosi architetto nel 1874, entrò nello studio degli ingegneri E. Combi e G. Sizzo, con i quali collaborò, tra l’altro, alla edificazione di Palazzo Turati a Milano (1877).
Contemporaneamente, sotto la guida del Cremona, iniziò a dipingere: la sua prima opera documentata, l’acquarello Giovinetta malata, fu realizzata nel 1877, anno in cui espose al Salon parigino l’acquaforte Cortile di Palazzo Marino.
Nel 1880 partecipò all’Esposizione di Belle Arti di Milano con alcune acqueforti caratterizzate da elementi romantici, fra le quali La casa del mago, che scandalizzarono pubblico e critica per il gusto macabro molto insolito per il tempo.
Rispettivamente del 1879 e del 1880 sono le sue prime opere di pittura a olio: Ragazzi in giardino e il Ritratto di Primo Levi, che, pur rivelando una stretta aderenza ai modi del Cremona, se ne differenziano nella maggiore ricerca di fusione della figura nell’elemento atmosferico.
Nel 1881 entrò a far parte del sodalizio Famiglia Artistica e partecipò all’Indisposizione Artistica, goliardica mostra allestita dagli Scapigliati in concomitanza dell’Esposizione Nazionale di Belle Arti di Milano; l’anno successivo fondò con Alberto Pisani Dossi, Carlo Borghi e Luca Beltrami il settimanale “Guerin Meschino”, al quale collaborò per anni come illustratore e sagace caricaturista. Contemporaneamente tentò invano di affermarsi come architetto, così, deluso e amareggiato dagli insuccessi in questo campo, dalla fine degli anni ottanta privilegiò sempre più l’attività pittorica, partecipando più volte ad esposizioni italiane ed estere.
Nel 1896 acquistò una parte del Chiostro di Voltorre, in provincia di Varese, che adibì a casa e a studio e l’anno successivo sposò la pittrice Eugenia Dal Co, dedicandosi all’insegnamento di storia dell’arte alla Società Umanitaria e all’Associazione di mutuo soccorso degli operai, dove guidò la direzione della Scuola di disegno per cinque anni.
Conconi si dedicò anche alla politica, diventando membro del Consiglio comunale di Milano dal 1899 al 1904 e partecipò anche a numerose commissioni organizzative e giudicatrici, come quelle per l’Esposizione di arte decorativa a Torino del 1902 e l’Esposizione internazionale di Roma e Torino del 1911.